10.1 La fréquence fondamentale
10.2 Contrôle de l'accélération
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1 Hypothèses :
La surface du sol est de forme rectangulaire et uniformément chargée.
Les ouvertures ne dépassent pas 15 % de la surface de plancher et aucune ouverture individuelle n'est supérieure à 40 % de la dimension du plancher.
2 Paramètres :
Niveau de performance du plancher de I à VI - Nouveau
Largeur du plancher - Nouveau
Catégorie de bâtiment à usage résidentiel ou autre étage - Existant
Type de plancher prise en compte de l'amortissement. - Nouveau
Plus de couches et options d'interaction entre elle. - Existant
3 Symboles et abréviations
Lettres majuscules latines
B largeur du plancher - à partir du paramètre d'entrée
B ef largeur effective du plancher
(EI) L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur
(EI) T rigidité à la flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur
(EI) ST rigidité en flexion d'un élément de flexion discret au milieu de la portée, transversalement à la portée du plancher
F charge statique ponctuelle
Fh Force dynamique verticale maximale causée par le poids supposé d'une personne marchant.
M * masse modale
I m impulsion modale moyenne
L portée du plancher - il s'agit de la portée de la solive
R facteur de réponse
Lettres minuscules latines
a rms accélération moyenne quadratique
f 1 fréquence fondamentale
f 1,lim limite de la fréquence fondamentale au-dessus de laquelle la réponse résonante ne se produit pas
f1 ,rigide Fréquence fondamentale du plancher supporté par des supports rigides
f 1,poutre,1 fréquence fondamentale de la poutre porteuse du côté d'un étage
f 1,poutre,2 fréquence fondamentale de la poutre de support de l'autre côté du plancher
f w fréquence de marche
m poids propre du plancher par unité de surface
ke,1 multiplicateur de fréquence dans le cas d'un plancher à double portée sur supports rigides
ke,2 multiplicateur de fréquence dans le cas d'un étage de recouvrement à deux voies
k imp multiplicateur tenant compte des modes supérieurs dans la réponse transitoire
k red facteur de réduction
kres Facteur tenant compte de la contribution des modes supérieurs à la réponse résonante
vtot,peak réponse totale de la vitesse de pointe de tous les modes jusqu'à deux fois la fréquence du premier mode
v rms vitesse moyenne quadratique
v1,peak réponse à la vitesse de pointe
w sys déformation du système de plancher sous la charge induite par le poids propre
w 1kN déformation maximale due à une charge ponctuelle verticale de F = 1 kN
wlim,max Limite supérieure de déformation
Lettres grecques minuscules
ζ rapport d'amortissement modal
m facteur de résonnance
4 Fréquence fondamentale
L’analyse se fait sur une poutre individuelle.
La limitation de la fréquence fondamentale est la même pour tous les types de plancher. La fréquence fondamentale f 1 est donné par la formule en dessous. La limite est à 4,5Hz (non 8 Hz).
(9.1)
Où
f1 fréquence fondamentale du plancher, en Hz ;
ke,1 multiplicateur de fréquence dans le cas d'un plancher à double portée sur appuis rigides [voir tableau 9.1 ci-dessous]. Dans le cas d'une travée unique ke,1 = 1,0 ;
ke,2 multiplicateur de fréquence pour considérer l'effet de la rigidité transversale du plancher. Voir la [formule (9.2) ci-dessous]. Dans le cas d'un plancher à portée unidirectionnelle ke,2 = 1,0 ;
L portée du plancher, en m ;
m masse du plancher par unité de surface en kg/m2;
La masse du plancher utilisée pour les calculs vibratoires doit être une valeur unique comprenant la somme de la masse causée par les charges permanentes, le poids propre du plancher ainsi que toutes les couches structurelles horizontales soutenues ou suspendues, le poids propre des cloisons et une masse supplémentaire équivalente à 10% des charges d’exploitation.
(EI)L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur en Nm²/m.
La rigidité en flexion du plancher doit être la rigidité tenant compte de la déformation en cisaillement et du glissement des joints, le cas échéant, par exemple dans le cas de poutres ou de fermes reliées mécaniquement.
Tableau 9.1 Facteur ke,1 pour calculer la fréquence fondamentale dans le cas d'un plancher à deux travées sur supports rigides.
(9.2)
Où
B largeur du plancher, en m ;
L portée du plancher, en m ;
(EI)L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur en Nm²/m ;
(EI)T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m ;
5 Limite de l'accélération
f1 > f1,lim limite de fréquence fondamentale au-dessus de laquelle la réponse résonante ne se produira pas; il n'est pas nécessaire de vérifier l'accélération.
Où
f1,lim = max [4 x fw ou (8 Hz (pour I - V) ou 7 Hz (pour VI)]
Où
fw = 1,5 Hz pour les étages résidentiels
2,0 Hz pour les autres catégories
2.5 Hz lorsqu'un marcheur peut parcourir une distance de plus de 10 m dans une direction.
Lorsque f1 > f1,lim , la réponse résonante doit être vérifiée conformément à [9.3.6]. Formule d'accélération
6 Rigidité
La rigidité est déterminée en calculant la déformation à partir d'une charge ponctuelle de 1kN à mi-portée (w1kN). Cette valeur est limitée en fonction de la valeur de w lim pour la catégorie de plancher.
wlim = wlim,max lorsque wlim,max ≤ 0,5 (9.18)
0,5 ≤ w lim= 150 x R/L ≤ wlim,max lorsque wlim,max > 0,5
Où
w lim limite de la déformation maximale due à une charge statique verticale ponctuelle de F = 1 kN, en mm ;
R facteur de réponse donné dans le [Tableau 9.2] ;
L portée du plancher, en mm ;
wlim,max limite supérieure de déformation donnée dans le [Tableau 9.2], en mm ;
(9.5)
Où
w 1kN est la déformation maximale due à une charge ponctuelle verticale F = 1 kN, en mm ;
F est une charge unique statique de 1 kN placée dans la position la plus défavorable, en N ;
L portée du plancher, en m ;
B ef largeur effective, en m ;
(EI) L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m.
6.1 Sans Raidisseur
La largeur effective d'un plancher dont la rigidité en flexion transversale est uniforme sur toute la largeur peut être la suivante calculée avec la [formule (9.6)].
(9.6)
Où
Bef largeur effective, en m ;
L portée du plancher, en m ;
(EI) T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m ;
(EI) L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m ;
B largeur du plancher, en m.
6.2 Avec Raidisseurs
La largeur effective, pour un plancher dans lequel un élément de flexion a été ajouté à mi- portée augmentant la rigidité en flexion transversale. La largeur du plancher, peut être calculée à l'aide de la [formule (9.7)].
(9.7)
Où
B ef largeur effective, en m ;
L portée du plancher, en m ;
(EI) ST rigidité en flexion de l'élément de flexion discret au milieu de la portée transversale à la portée du plancher, en Nm² ;
(EI) T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m ;
(EI)L,app rigidité à la flexion le long de la portée du plancher pour un mètre de largeur, en Nm²/m ;
B largeur du plancher, en m.
7 Accélération
Il s'agit d'une vérification du plancher et non d'une vérification individuelle des solives.
L'accélération des vibrations du plancher doit être calculée et limitée aux valeurs ci-dessous en fonction du niveau de performance du plancher lorsque f1 > f1,lim.
(9.9)
Où
k res facteur pour tenir compte des modes de vibration supérieurs, tel que calculé avec la [formule (9.10)] ;
m facteur d'accumulation résonante, qui peut être pris comme m = 0,4 ;
F h force dynamique verticale causée par le poids supposé d'une personne qui marche et doit être prise comme F h= 50 N ;
ζ rapport d'amortissement modal comme indiqué dans [9.3.1(3)] ;
M* masse modale telle qu'indiquée dans [la formule (9.11)], en kg.
L'effet des modes supérieurs est pris en compte par le facteur kres comme indiqué dans la [formule (9.10)].
(9.10)
Où
k res facteur permettant de tenir compte des modes de vibration supérieurs.
B largeur du plancher, en m.
L portée du plancher, en m ;
(EI)L rigidité à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur comme indiqué dans [9.3.3(12), (13)], en Nm²/m ;
(EI)T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur comme indiqué dans [9.3.3(12), (13)], en Nm²/m ;
(3) La masse modale doit être calculée selon la [formule (9.10)].
(9.11)
Où
M* est la masse modale du plancher, en kg ;
m masse du plancher par unité de surface, comme indiqué dans [9.3.3(8)], en kg/m2 ;
L longueur de la portée du plancher, en m ;
B largeur du plancher, en m.
Pour les planchers, le rapport d'amortissement modal peut être supposé être le suivant :
- ζ = 0,02 pour les planchers à poutrelles,
- ζ = 0,025 pour les planchers en bois-béton, les planchers à nervures et les planchers en dalles (par exemple, bois lamellé-collé, LVL, lamellé-collé),
- ζ = 0,03 pour les planchers à poutrelles avec une couche de plancher flottant,
- ζ = 0,04 pour les planchers en bois-béton, les planchers à nervures et les planchers en dalles (par exemple, bois lamellé-collé, LVL, lamellé-collé) avec une couche de plancher flottant.
8 Vélocité
La vitesse de vibration du sol doit être calculée et limitée aux valeurs ci-dessous.
L'impulsion modale moyenne doit être calculée selon la [formule (9.12)].
(9.12)
Où
I m impulsion modale moyenne, en Ns ;
f w fréquence de marche telle que définie dans [9.3.3(2)], en Hz ;
f 1 fréquence fondamentale du plancher, en Hz.
La vitesse de pointe dans le mode fondamental doit être calculée avec la [formule (9.13)].
(9.13)
Où
v1,peak réponse de la vitesse de pointe, en m/s ;
k red facteur de réduction de 0,7, qui tient compte du fait que la source d'excitation au sol est éloignée de la personne détectée ;
I m impulsion modale moyenne calculée selon la [formule (9.12)], en Ns ;
M * masse modale du plancher calculée selon la [formule (9.11)], en kg.
Pour prendre en compte l'effet des modes de vibration supérieurs sur la réponse du plancher, autres que le mode fondamental, la réponse de la vitesse de pointe doit être multipliée par le facteur kimp, qui est calculé à l'aide de la [formule (9.14)].
(9.14)
Où
kimp facteur qui tient compte des modes supérieurs dans la réponse transitoire ;
L portée du plancher, en m ;
B largeur du plancher, en m ;
(EI)L rigidité en flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur, comme indiqué dans [9.3.3(12), (13)], en Nm²/m ;
(EI)T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur comme indiqué dans [9.3.3(12), (13)], en Nm²/m ;
La réponse de pointe de la vélocité totale doit être calculée avec la [formule (9.15)].
(9.15)
Où
vtot,peak est la réponse de la vitesse totale de pointe, en m/s ;
k imp est le facteur qui tient compte des modes supérieurs dans la réponse transitoire avec [formule (9.14)] ;
v1,peak est la réponse de vitesse de crête pour le mode fondamental calculé avec [la formule (9.13)], en m/s.
La vitesse moyenne quadratique doit être calculée avec la [formule (9.16)].
(9.16)
Où
v rms réponse moyenne quadratique de la vitesse, en m/s ;
vtot,peak réponse de la vitesse totale de pointe calculée avec la [formule (9.15)], en m/s ;
f 1 fréquence fondamentale, en Hz ;
ζ rapport d'amortissement modal comme indiqué dans [9.3.1(3)] ;
η facteur calculé par [formule (9.17)].
Avec
η = 1,35 – 0,4 x kimp , lorsque 1,0 ≤ kimp ≤ 1,9 sinon η = 0,59 (plancher poutre) (9.17)
η = 1,35 – 0,4 x kimp , lorsque 1,0 ≤ kimp ≤ 1,7 sinon η = 0,97 (autre plancher)
Où
k imp est le facteur qui tient compte des modes supérieurs dans la réponse transitoire avec [formule (9.14)].
9 Critères de vibration
Pour les niveaux de performance des planchers I, II, III, IV, V et VI, aucune investigation supplémentaire n'est nécessaire, si les exigences relatives à la fréquence, à la rigidité, à l'accélération et à la vitesse [Tableau 9.2] sont satisfaites.
(2) Pour les situations de résonance du plancher (lorsque f1 < f1.lim comme indiqué dans [9.3.3(3)]), les critères de fréquence fondamentale, d'accélération et de rigidité minimaux du [tableau 9.2] doivent être remplis.
(3) Pour les situations de conception de vibrations transitoires, (lorsque f1 ≥ f 1.lim comme indiqué dans [9.3.3(3)]), les critères de vitesse et de rigidité du [Tableau 9.2] doivent être remplis.
(4) La limite réelle de la déformation maximale w1kN indiquée dans [9.3.5(1)] pour les critères de rigidité doit être calculée avec [la formule (9.18)] ;
wlim = wlim,max lorsque wlim,max ≤ 0,5 (9.18)
0,5 ≤ wlim = 150 x R/L ≤ wlim,max Lorsque wlim,max > 0,5
Où
w lim limite de la déformation maximale due à une charge statique verticale ponctuelle de F = 1 kN, en mm ;
R facteur de réponse donné dans le [Tableau 9.2] ;
L portée du plancher, en mm ;
wlim,max limite supérieure de déformation donnée dans le [Tableau 9.2], en mm ;
Tableau 9.2 - Critères de vibration du sol en fonction du niveau de performance du sol.
(4) Un niveau de performance des planchers pour les catégories d'usage résidentiel et de bureau peut être tiré du [tableau 9.3].
Tableau 9.3 (NDP) - Sélection recommandée des niveaux de performance des planchers pour les catégories d'utilisation A (résidentiel) et B (bureaux).
NOTE 1 : La recommandation est divisée en choix de base, de qualité ou d'économie, selon l'aspect le plus important.
NOTE 2 : Pour les différentes catégories d'utilisation des bâtiments, l'attribution des niveaux de performance des sols à appliquer peut-être indiquée dans l'annexe nationale à utiliser dans un pays.
10 Exemple de calcul
Maison individuelle - Niveau de performance du plancher - choix de base - Niveau V
Si les poutres font 5m de portée, il y a 2 largeurs habitables : P1 correspondant à une chambre, et P2 à la cuisine. Nous calculons le cas le pire, c.-à-d. quand la largeur habitable est égale à la portée de poutre
Longueur du plancher = 9m
ζ = 0,03 pour un plancher à solives avec couche flottante
Paramètres du projet
Matériau du sol
- 50mm Béton
- OSB de 22 mm
10.1 La fréquence fondamentale
(9.1)
Où
f 1 est la fréquence fondamentale du plancher, en Hz ;
ke,1 = 1,0 ;
ke,2 = 1.0 ;
L est la portée du plancher, en m ; = 5m
m est la masse du plancher par unité de surface en kg/m2;
= 1,3 Plancher + 0,5 Plafond + 0,8 Cloisons + 0,112 (poids de la poutre) + 0,2 (10% Exploitation) kN/m 2
= 2,912 kN/m2 = 297,14 kg/m 2
(EI)L est la rigidité apparente à la flexion le long de la portée du plancher par mètre de largeur en Nm²/m.
= 3912480 + 2662 + 156200 = 4071342 Nm²/m
Elle est constituée de l'OSB et du béton.
Posi = E.I/entraxe =
= 11 x10 9 x 222.3 x 10-6 /0.625 = 3912480 Nm 2/m
I= 100x3303 /12 - 100x2103 /12 = 100x26676000/12 = 222,3 x10-6m 4
E= 11 kN/mm2= 11x109 N/m2
OSB = E.I
= 3 x 109 x 887.333 x 10-9 = 2662 Nm²/m
I(par m) = 1000 x 223 /12 = 887333 mm4 = 887,333 x 10 -9m 4
E= 3 x 10 9N/m2
Béton = E.I
= 15 x 109 x 10.417 x 10-6 = 156200 Nm²/m
I(par m) = 1000 x 503 /12 = 10,417x 106mm 4 = 10,417 x 10 -6m 4
E= 15 x 10 9N/m 2
(9.2)
Où
B largeur du plancher, en m ; 0.625m (longueur totale du plancher 9m )
L portée du plancher, en m ; 5m
(EI) L = 4071342 Nm 2/m ;
(EI)T rigidité en flexion transversale à la portée du plancher par mètre de largeur, en Nm²/m ;
Elle est constituée de l'OSB et du béton.
= 2662 + 156200 = 158862 Nm²/m
10.2 Contrôle de l'accélération
10.3 Rigidité
Plancher de niveau V : wlim,max = 1,5 mm, R = 36
0,5 ≤ w lim= 150 x R/L ≤ wlim,max
w lim=150 x R/L = 150 x 36/5000 = 1,08
(9.5)
Où
w 1kN déformation maximale due à une charge ponctuelle verticale F = 1 kN, en mm ;
F 1000 N ;
L portée du plancher, en m ; 5m
B ef largeur effective, en m ; 2,263m
(EI) L 4071342 Nm 2/m ;
10.4 Sans Raidisseurs
(9.6)
Où
Bef est la largeur effective, en m ;
L est la portée du plancher, en m ; 5m
(EI) T = 158862 Nm²/m ;
(EI) L = 4071342 Nm 2/m ;
B est la largeur du plancher, en m. 9m
10.5 Avec Raidisseurs
(9.7)
Où
B ef largeur effective, en m ;
L 5 m ;
(EI) ST rigidité en flexion de l'élément de flexion au milieu de la portée transversale, en Nm²;
= 13,72 x 10-6 x 11 x 109= 150920 Nm² ;
IST = 60 x 140 3/12 = 13,72 x 10-6m 2
EST = 11x109N/m 2
(EI) T = 158862 Nm²/m ;
(EI)L = 4071342 Nm 2/m ;
B largeur du plancher, en m.
10.6 Accélération
Où
k res facteur pour tenir compte des modes de vibration supérieurs, tel que calculé avec
k res = max (0,192 x (B/L) x ((EI) L/(EI) T) 0.25ou 1,0)
= max (0,192 x (9/5) x (4071342/158862) 0.25ou 1,0) = max (0,192 x 1,8 x2,25 ou 1,0) = 1,0
Où
B largeur du plancher, en m. = 9m
L portée du plancher, en m ; = 5m
(EI) T = 158862 Nm²/m ;
(EI)L = 4071342 Nm 2/m ;
m facteur d'accumulation résonante, qui peut être pris comme m = 0,4 ;
F h force dynamique verticale causée par le poids supposé d'une personne qui marche et doit être prise comme F h= 50 N ;
ζ 0.03 ;
M * masse modale calculée ci-dessous en kg.
M * = m x L x ?/4 = 297,14 x 5 x 9/4 = 3342,8 kg
Où
M * masse modale du plancher, en kg ;
m = 297,14 kg/m2;
L = 5 m ;
B largeur du plancher, en m. = 9 m
10.7 Vélocité
Où
I m impulsion modale moyenne, en Ns ;
f w = 1,5 Hz
f 1 = 7.355Hz.
Où
v1,peak réponse de la vitesse de pointe, en m/s ;
k red facteur de réduction de 0,7.
I m = 5,604 Ns ;
M * = 3342,8 kg
k imp = max {0,48 x (B/L) x ((EI )L/(EI )T)0,25 or 1,0
k imp = max {0,48 x (9/5) x (4071342/158862)0,25 = 1.944
Où
k imp est un multiplicateur qui tient compte des modes supérieurs dans la réponse transitoire ;
L = 5 m ;
B = 9 m ;
(EI) L = 4071342 Nm 2/m ;
(EI) T = 158862 Nm²/m ;
vtot,peak = kimp x v1,peak = 0.002236 m/s
Où
vtot,peak réponse de la vitesse totale de pointe, en m/s ;
k imp = 1.944
v1,pic 0,00115 m/s.
vrms = vtot,peak x (0,65 - 0,01 x f1) x (1,22 – 11,0 x ζ ) x η ≤ 0.0036
= 0.002236 x (0,65 - 0,01 x 7.355) x (1,22 – 11,0 x 0.03) x 0.59 ≤ 0.0036
= 0.002236 x (0.576) x (0.89) x 0.59 = 0.00068 ≤ 0.0036
Où
v rms est la réponse moyenne quadratique de la vitesse, en m/s ;
vtot,pic = 0,002236 m/s
f 1 = 7.355Hz.
ζ = 0.03
η = 1,35 - 0,4 x kimp , lorsque 1,0 ≤ kimp ≤ 1,9 sinon η = 0,59 (pour poutre).
η = 1,35 - 0,4 x 1.944, lorsque 1,0 ≤ kimp ≤ 1,9 sinon η = 0,59
Où
k imp = 1.944